Aasaaska xisaabta

Aasaaska xisaabta (Ingiriisi: foundations of mathematics) waa qayb ku shaqeysa baaritaanka salka ay xisaabta ku dhisan tahay: waa maxay caddaymo (proof) ansax ah, waa maxay walxaha xisaabta sida tirooyinka iyo isugeynta (sets), iyo sidee lagu xaqiijiyaa in nidaam xisaabeed uusan is-burinayn. Waxay isku dartaa qalab caqli-xisaabeed (mantiq) iyo su'aalo falsafadeed.

Habka shaqada wuxuu ku salaysan yahay in xisaabta lagu qeexo nidaam axioms ah — jumlado bilow ah oo aan la caddayn — iyo xeerar wax-ka-soo-saarid (inference rules). Kadib waxaa lala xisaabtamaa sifooyinka nidaamka: ma is-burinayaa? Ma cadaymi karaa jumlad kasta run ah? Ma jiraa algorithm go'aamiya ansaxnimada?

Taariikh kooddu

Sal-dhigga dhaqameed wuxuu ka bilaabmay joomatariga Euclid, halkaas oo natiijooyinka laga soo saaray axioms. Qarniyada 19-aad, kala-baxa xisaabta falanqaynta (analysis) wuxuu keenay baahi loo qabay qeexid adag ee xadka iyo tirooyinka dhabta ah, shaqo ay ka qayb qaateen Cauchy, Weierstrass, Dedekind iyo Cantor. Aragtida isugeynta ee Cantor waxay siisay luqad guud oo walxaha xisaabta lagu qeexi karo.

Dhammaadka qarniga 19-aad iyo bilowga 20-aad, waxaa la helay is-burinno (paradoxes) ku saabsan isugeynta xad-dhaaf ah, oo ka mid ah is-burinta Russell. Tan waxay keentay dadaal loo yaqaan 'xaalada aasaaska': la dhisidda nidaamyo axiom ah oo si taxaddar leh xaddidan, sida aragtida isugeynta ZFC iyo aragtida noocyada (type theory).

Dugsiyada falsafadda

Saddex jiho caan ah oo qarniga 20-aad ka soo baxay: logicism, oo sheegtay in xisaabta laga soo saari karo mantiqa (Frege, Russell); formalism, oo xisaabta u arkay ciyaar calaamado leh xeerar cad, halkaas oo ujeeddada muhiim ah tahay caddaynta aan-is-burin (barnaamijka Hilbert); iyo intuitionism/constructivism, oo Brouwer horkacay, kaas oo qiray oo keliya waxa si dhisme ah loo soo saari karo, sidaas darteedna xaddiday isticmaalka sharciga bartamaha la reebay.

Natiijooyinka Gödel iyo saamaynta

Sanadkii 1931, Kurt Gödel wuxuu caddeeyay labada aragti ee 'incompleteness': nidaam kasta oo formal ah, is-burin la'aan ah, oo ku filan sharraxidda xisaabta tirooyinka dabiiciga, wuxuu leeyahay jumlado run ah oo aan lagu caddayn karin nidaamka gudihiis; sidoo kale nidaamkaas ma caddayn karo is-burin-la'aantiisa. Natiijooyinkan waxay xaddideen hindisaha Hilbert ee ahaa in aasaaska oo dhan lagu xasilo hab gaar ah oo la kalsoonaan karo.

Maanta

Maanta aasaaska xisaabta wuxuu u kala qaybsan yahay dhowr laan: aragtida mantiqa (model theory), aragtida caddaynta (proof theory), aragtida isugeynta, iyo aragtida go'aanka/xisaabtanka (computability). Aragtida noocyada waxay sidoo kale door firfircoon ka ciyaartaa barnaamijyada kombiyuutarka ee caddaynta xaqiijiya (proof assistants), oo caddaymo xisaabeed lagu hubiyo si makiinad ah.