Qaybta (xisaab)

Qaybta (oo sidoo kale loogu yeero urur; Ingiriis: set) waa ururin walxo ah oo si cad loo kala saarayo. Walxaha ku jira qaybta waxaa loo yaqaan xubno (elements). Xubinnimo waa xiriirka aasaasi: walax kastaa ama waa xubin qaybta, ama maaha; ma jiro heer dhexdhexaad ah. Sida caadiga ah lama tiriyo inta jeer ee xubin soo noqonayso, mana muhiimsana kala hormarinta xubnaha.

Qaybta waa mid ka mid ah fikradaha ugu hooseeya ee xisaabta casriga ah. Tirooyinka, shaqooyinka (functions), qaabab joomatari iyo dhismayaal algebra ah dhammaantood waxaa lagu qeexi karaa iyadoo laga bilaabo qaybo. Sababtaas ayaa keentay in aqoonta qaybaha (set theory) loo isticmaalo sidii luqad guud oo qaybo kala duwan ee xisaabta ku wada shaqeeyaan.

Sida qayb loo qeexo

Laba hab caadi ah ayaa loo tilmaamo qayb. Kow, liiska xubnaha oo lagu qoro laba xarig ({ }), tusaale ahaan {1, 2, 3}. Labo, shuruud oo lagu xushay xubnaha, tusaale ahaan “dhammaan tirooyinka sax ah ee laba-laab ah”. Habka labaad waxtar u leh qaybo aan dhammaad lahayn. Qayb aan xubin lahayn waxaa loo yaqaan qaybta faaruq (∅). Laba qayb waa isku mid haddii oo kaliya ay xubno isku mid leeyihiin.

Xiriirka iyo hawlgallada

Qayb A waxay noqon kartaa qayb-hoosaad (subset) qaybta B haddii xubin kasta oo A ku jirta ay sidoo kale B ku jirto. Hawlgallada caadiga ah waa: midowga (union), oo isku dara xubnaha labada qayb; kulanka (intersection), oo qaato xubnaha labadooda ku wada jira; iyo faraqa (difference), oo qaato xubnaha ku jira mid laakiin aan ku jirin kan kale. Sidoo kale waxaa la sameeyaa badhkeeda kale (complement) marka la haysto qayb guud oo weyn.

Cabbirka iyo tirinta

Tirada xubnaha qayb waxaa loo yaqaan cabbirkeeda (cardinality). Qaybo qaar waa xaddidan, sida {a, b, c} oo cabbirkeedu yahay saddex. Qaybo kalena waa aan xaddidnayn, sida qaybta tirooyinka dabiiciga ah. Georg Cantor, xisaabyahan reer Jarmal ah, wuxuu qarnigii 19-aad soo bandhigay habab lagu barbar dhigo cabbirrada qaybaha aan xaddidnayn, isagoo isticmaalay iswaafajin mid-ka-mid ah. Natiijadiisu waxay muujisay in aan dhammaan qaybaha aan xaddidnayn cabbir isku mid lahayn.

Aqoonta qaybaha iyo axiomyada

Qeexitaanka aan xannibnayn oo qayb laga sameeyo shuruud kasta wuxuu keena iska-hor-imaad caqli ah, sida kii Russell soo bandhigay. Taas awgeed, xisaabyahannadu waxay dhiseen nidaamyo axiom ah — kii ugu badan la isticmaalo waa ZFC (Zermelo–Fraenkel oo lagu daray axiomka doorashada) — kuwaas oo xaddida siyaabaha qaybo cusub loo dhisi karo. Nidaamyadaas ayaa hadda salka u ah aasaaska caadiga ah ee xisaabta.