Thiin kakan

Thiin kakan (waxaa sidoo kale loo yaqaan tiro kakan) waa tiro loo qori karo qaabka a + bi, halkaas oo a iyo b ay yihiin tirooyin dhab ah, i-na uu yahay cutub la yiraahdo cutubka mala-awaalka oo lagu qeexo xeerka i² = −1. Qaybta a waxaa loo yaqaan qaybta dhab ah, qaybta b-na waa qaybta mala-awaalka. Marka b uu eber yahay, tiradu waa tiro dhab ah caadi ah; marka a uu eber yahay b-na aanu eber ahayn, waxaa loo yaqaan tiro mala-awaal saafi ah.

Tirooyinkan waxaa loo soo saaray si loo xalliyo isle'egyo aan xal ku lahayn tirooyinka dhabta ah, tusaale ahaan x² + 1 = 0. Isugeynta, kala-goynta, isku-dhufashada iyo qeybinta waxaa lagu qabtaa si la mid ah xisaabta tirooyinka dhabta ah, laakiin mar kasta oo i² soo baxo waxaa lagu beddelaa −1. Urur ahaan, tirooyinka kakan waxay sameeyaan meel (field) xisaabeed oo caadi ahaan lagu calaamadeeyo C.

Matalaadda giraafka

Tiro kakan ah a + bi waxaa lagu matali karaa dhibic ku taal diyaarad laba-cabbir leh, oo dhidibka toosan yahay qaybta dhab ah, dhidibka taagan-na qaybta mala-awaalka. Diyaaraddaas waxaa loo yaqaan diyaaradda kakan ama diyaaradda Argand. Isugeynta tirooyin kakan waxay u dhigantaa isugeynta faalladaha (vectors), halka isku-dhufashadu ay ka dhigan tahay isku-dhufashada dhererka iyo isugeynta xaglaha.

Qiyaas iyo qaab jaantus

Qiyaasta (modulus) tirada z = a + bi waa |z| = √(a² + b²), taasoo ah fogaanta dhibicda laga xisaabiyo bar-bilowga. Xagasha z sameysay dhidibka dhab ah waxaa loo yaqaan doodda (argument). Sidaas darteed, tirada waxaa lagu qori karaa qaabka polar: z = r(cos θ + i sin θ), halkaas oo r uu qiyaasta yahay θ-na doodda. Qaabkan waxaa fududeeya isku-dhufashada iyo kor-u-qaadista xoogga.

Kaftankiisa (conjugate)

Wehelka isku-noqoshada ee z = a + bi waa a − bi. Isku-dhufashada tirada iyo wehelkeeda waxay bixinaysaa tiro dhab ah oo la mid ah qiyaasta laba-jibbaaran, taas oo loo isticmaalo qeybinta tirooyinka kakan iyo fududeynta jajabyada.

Ahmiyad iyo isticmaal

Tirooyinka kakan waa saldhig u ah qaybo badan oo xisaabta iyo sayniska ah. Xeerka aasaasiga ah ee aljebrada wuxuu sheegayaa in isle'eg kasta oo kayd (polynomial) darajadeedu ka weyn tahay eber ay xal ku leedahay tirooyinka kakan. Waxaa sidoo kale la isticmaalaa injineernimada korontada iyo falanqaynta calaamadaha, sida sharraxidda wareegyada AC, iyo fiisikiska kuwaantamka, halkaas oo shaqada mowjadeed ay qiimayaal kakan qaadato.